Arbol B

En las ciencias de la computacion, los árboles-B ó B-árboles son estructuras de datos de arbol que se encuentran comúnmente en las implementaciones de base de datos. Los árboles B mantienen los datos ordenados y las inserciones y eliminaciones se realizan en tiempo logarítmico amortizado.

B-árbol es un árbol de búsqueda que puede estar vacío o aquel cuyos nodos pueden tener varios hijos, existiendo una relación de orden entre ellos, tal como muestra el dibujo .

Un arbol-B de orden M (el máximo número de hijos que puede tener cada nodo) es un arbol que satisface las siguientes propiedades:

1. Cada nodo tiene como máximo M hijos.
2. Cada nodo (excepto raiz y hojas) tiene como mínimo M/2 hijos.
3. La raiz tiene al menos 2 hijos si no es un nodo hoja.
4. Todos los nodos hoja aparecen al mismo nivel,y no tienen hijos.
5. Un nodo no hoja con k hijos contiene k-1 elementos almacenados.
6. Los hijos que cuelgan de la raíz (r1, · · · rm) tienen que cumplir ciertas condiciones :
   1. El primero tiene valor menor que r1.
   2. El segundo tiene valor mayor que r1 y menor que r2 etc.
   3. El último hijo tiene mayor que rm .

Cada elemento de un nodo interno actúa como un valor separador, que lo divide en subárboles. Por ejemplo, si un nodo interno tiene tres nodos hijo, debe tener dos valores separadores o elementos a₁ y a₂. Todos los valores del subárbol izquierdo deben ser menores a a₁, todos los valores del subárbol del centro deben estar entre a₁ y a₂, y todos los valores del subárbol derecho deben ser mayores a a₂.

Los nodos internos de un árbol B, es decir los nodos que no son hoja, usualmente se representan como un conjunto ordenado de elementos y punteros a los hijos. Cada nodo interno contiene un máximo de U hijos y, con excepción del nodo raíz, un mínimo de L hijos. Para todos los nodos internos exceptuando la raíz, el número de elementos es uno menos que el número de punteros a nodos. El número de elementos se encuentra entre L-1 y U-1. El número U debe ser 2L o 2L-1, es decir, cada nodo interno está por lo menos a medio llenar. Esta relación entre U y L implica que dos nodos que están a medio llenar pueden juntarse para formar un nodo legal, y un nodo lleno puede dividirse en dos nodos legales (si es que hay lugar para subir un elemento al nodo padre). Estas propiedades hacen posible que el árbol B se ajuste para preservar sus propiedades ante la inserción y eliminación de elementos.

Los nodos hoja tienen la misma restricción sobre el número de elementos, pero no tienen hijos, y por tanto carecen de punteros.

El nodo raíz tiene límite superior de número de hijos, pero no tiene límite inferior. Por ejemplo, si hubiera menos de L-1 elementos en todo el árbol, la raíz sería el único nodo del árbol, y no tendría hijos.

Un árbol B de altura n+1 puede contener U veces por elementos más que un árbol B de profundidad n, pero el costo en la búsqueda, inserción y eliminación crece con la altura del árbol. Como todo árbol balanceado, el crecimiento del costo es más lento que el del número de elementos.

Algunos árboles balanceados guardan valores sólo en los nodos hoja, y por lo tanto sus nodos internos y nodos hoja son de diferente tipo. Los árboles B guardan valores en cada nodo, y pueden utilizar la misma estructura para todos los nodos. Sin embargo, como los nodos hoja no tienen hijos, una estructura especial para éstos mejora el funcionamiento.